En la enseñanza y aprendizaje de la Geometría, es (o debería ser) esencial la experimentación con figuras o situaciones geométricas, el análisis de propiedades, la exploración y la formulación de conjeturas, su comprobación o su rechazo por falta de validez, la generalización a situaciones análogas, etc.
Para una actividad de ese tipo, los programas de geometría dinámica son una herramienta valiosa no sólo porque permiten construir figuras geométricas con rapidez y precisión sino, sobre todo, porque la misma construcción puede permitir, con sólo un arrastre de ratón, el estudio o la exploración de innumerables ejemplos.
Esta cualidad permitirá que las experiencias puedan conducir a investigaciones mucho más profundas y ricas que las alcanzables sólo con lápiz y papel.
Con el siguiente ejemplo, extraído de los "Principios y Estándares para la Educación matemática" del NCTM, pretendemos ilustrar todo lo anterior y reflejar cómo un hipotético grupo de estudiantes podría investigar conjeturas en un entorno de geometría dinámica.
Se pide a nuestros alumnos que dibujen un triángulo, que construyan otro uniendo los puntos medios de sus lados y que determinen la razón entre las áreas de los dos triángulos, justificando sus conclusiones.
Una figura como la siguiente, que ellos mismos pueden construir sin dificultad con cualquier programa de GD permitirá observar que la razón entre las dos áreas permanece constante (e igual a 0,25) para tantos ejemplos de triángulos como quieran, con sólo deslizar los vértices a cualquier otra posición.
A la hora de justificar o argumentar la causa de este resultado, habrá quienes aludan a lo que "ya se ve": que el triángulo grande contiene cuatro triángulos pequeños congruentes (iguales dirán ellos) entre sí.
Es de esperar que muchos de nuestros estudiantes recurran a la base y la altura de uno y otro triángulo: si las del pequeño son la mitad que las del original, al calcular "base por altura dividido por dos" al área saldrá, lógicamente, la cuarta parte.
Otra posible argumentación se puede apoyar en el concepto de semejanza entre los triángulos: las longitudes de los tres lados del triángulo interior son la mitad de las de sus correspondientes en el triángulo inicial. Así pues, se tratará de figuras semejantes con razón de semejanza igual a 1/2. Por consiguiente, las razones entre las áreas será (como quizás se haya explicado en clase anteriormente) el cuadrado de 1/2, o sea 1/4.
Por otro lado, la situación se presta a buscar posibles generalizaciones: ¿qué ocurrirá si planteamos algo análogo con cuadriláteros?
De nuevo, la construcción de la figura interactiva anterior no tiene ninguna dificultad y permite observar y analizar múltiples ejemplos de cuadriláteros en poco tiempo.
En esta ocasión se puede comprobar que la razón entre las áreas del nuevo cuadrilátero "de los puntos medios" y del original es de nuevo constante (incluso para cuadriláteros cóncavos), pero tiene otro valor: 0,5 .
La justificación de ese resultado puede ser más complicada de encontrar para los chavales. Una posibilidad es la de dividir el cuadrilátero en dos triángulos y éstos en nuevos triángulos "de puntos medios", como puede observarse en la figura.
A partir de esa descomposición se pueden encontrar pares de triángulos iguales que justificarán el resultado anterior, al menos en el caso de los cuadriláteros convexos.
Si se compara la situación de los cuadriláteros con la anterior de los triángulos, comprobaremos que la relación de semejanza ha desaparecido. A cambio, se pueden observar y de nuevo intentar justificar nuevas propiedades:
¿Qué tienen de particular o qué tienen en común todos los polígonos obtenidos a partir de los puntos medios de un cuadrilátero?
Puedes ver muchos de ellos en la siguiente figura interactiva:
Efectivamente: son paralelogramos (los llamados paralelogramos de Varignon) ... ¿siempre o sólo cuando el cuadrilátero es convexo? Y ¿por qué?
De nuevo cada diagonal del cuadrilátero inicial puede servirnos, junto con el Teorema de Thales (o su recíproco) -por no decir la simple observación de, nuevamente, tantos ejemplos como se deseen- para justificar que cada par de lados del cuadrilátero interior es paralelo a la misma diagonal, luego se trata de dos pares de lados opuestos paralelos entre sí.
Y ¿cómo ha de ser el cuadrilátero para que su correspondiente paralelogramo de Varignon sea un rectángulo?
Compruébalo sobre la figura interactiva (y luego justifica el motivo):
A propósito del paralelogramo de Varignon se podrían plantear otras cuestiones quizás de mayor dificultad que lo expuesto hasta ahora. Lo dejamos para la segunda parte de este artículo y volvemos al problema inicial.
Resulta que tanto con los triángulos como con los cuadriláteros, existe una razón constante entre las áreas del polígono obtenido por el "método de los puntos medios" y del original. ¿Habremos descubierto una propiedad de todos los polígonos?
El siguiente paso natural será comprobar qué ocurre con los pentágonos. Una nueva figura interactiva nos lo permitirá:
En los primeros ejemplos observados parece que la razón también en esta ocasión vaya a permanecer invariante. Quizás sea tras intentar infructuosamente encontrar la justificación cuando se observen más ejemplos hasta comprobar que no era así y que la razón no es constante.
Puede que ello suponga una pequeña decepción para los alumnos que esperaban que lo "descubierto" en los triángulos y cuadriláteros fuera una ley general.
Pero también puede tratarse de un interesante final, desde el punto de vista didáctico, para ilustrar la idea de que en la actividad matemática, tras la formulación de conjeturas, se trata tanto de justificar o intentar demostrar las que son válidas como de ir descartando las que resultan no serlo.